Cette page recense quelques articles mathématiques que j’écris pour le plaisir indépendamment de mon enseignement officiel en MPSI. Certains s’adressent à un public de niveau MPSI/PCSI/PTSI, d’autres visent un public plus expert. J’augmenterai ce stock de textes au gré de mes envies avec le temps. Toute remarque est la bienvenue !
La théorie de Galois en MPSI
Niveau requis – Fin d’année MPSI
On s’intéresse dans ce texte à la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, i.e. à leur résolution au moyen de combinaisons linéaires, produits/quotients et racines n-ièmes. Le mathématicien Galois a montré qu’une telle résolution est impossible en général à partir du degré 5 en associant à tout polynôme un groupe qui porte aujourd’hui son nom, le groupe de Galois. Enseignée à l’université en troisième ou quatrième année de mathématiques post-bac, la théorie de Galois s’appuie généralement sur d’autres enseignements préalables des années antérieures. Sans développer la théorie dans toutes ses extrémités, je me suis proposé de présenter dans ce texte unique à la fois la théorie de Galois et ses pré-requis dans un ordre d’exposition moins rigide que l’ordre classique.
Une introduction aux structures quotients en MPSI
Niveau requis – Fin d’année MPSI
L’arithmétique des entiers nous apprend à raisonner modulo un entier, mais les algébristes raisonnent au quotidien modulo un tas de choses dans un tas de mondes. Hors programme en MPSI, ces mondes qu’on appelle des structures quotients ne sont étudiés en CPGE qu’en classe de MP à travers l’exemple des anneaux Z/nZ sur lequel s’ouvre mon texte. J’ai privilégié ensuite l’intuition à la technicité pour présenter d’abord les espaces vectoriels quotients, puis les groupes quotients par respect pour les connaissances qu’un étudiant de MPSI a accumulées en fin d’année.
J’ai l’habitude de présenter ce texte à mes étudiants chaque année, du moins aux volontaires, dans le cadre des séminaires de mathématiques que j’organise à peu près chaque semaine.
Lemme de Sperner, théorème de Brouwer
Niveau requis – Milieu d’année MPSI/PCSI/PTSI
On part d’un triangle, on le découpe en petits triangles et on numérote 1, 2 ou 3 chaque sommet selon certaines règles simples. Le lemme de Sperner affirme qu’au moins l’un des petits triangles est numéroté 1-2-3. De ce résultat gratuit et bien peu analytique en apparence découle de façon inattendue un important théorème d’analyse, le théorème du point fixe de Brouwer.
J’ai l’habitude de présenter ce texte à mes étudiants chaque année, du moins aux volontaires, dans le cadre des séminaires de mathématiques que j’organise à peu près chaque semaine.
La géométrie hyperbolique du demi-plan de Poincaré en MPSI
Niveau requis – Milieu d’année MPSI/PCSI/PTSI
Les plans dits euclidiens qu’on étudie en géométrie au collège et au lycée satisfont le cinquième postulat d’Euclide suivant : par un point, il passe toujours une et une seule droite parallèle à une droite donnée. De façon surprenante au premier abord, des plans plus exotiques ont été découverts au 19ème siècle, qui ressemblent très fort aux plans euclidiens mais ne satisfont pas le cinquième postulat. Ce texte est consacré à la définition et à l’étude de l’un de ces modèles de géométrie non euclidienne.
J’ai l’habitude de présenter ce texte à mes étudiants chaque année, du moins aux volontaires, dans le cadre des séminaires de mathématiques que j’organise à peu près chaque semaine.
Une identité remarquable au service de (Z/pZ)*
Niveau requis – MP (corps Z/pZ, ordre d’un élément)
Je démontre dans cette courte note que le groupe multiplicatif (Z/pZ)* est cyclique en exploitant une identité remarquable assez classique. Il est possible que la preuve présentée soit inédite, du moins n’en ai-je trouvé la trace nulle part. Contrairement aux démonstrations classiques que je connais de la structure cyclique de (Z/pZ)*, ma preuve ne requiert pas qu’on sache majorer par n le nombre de racines du polynôme X^n-1.
Une version très légèrement différente de ce texte a été publiée dans la Revue de Mathématiques Spéciales (RMS) en janvier 2021.
Un théorème méconnu de Burnside sur les sous-groupes d’indice premier
Niveau requis – L3 (actions de groupes, polynômes et algèbre linéaire sur le corps Fp)
Je démontre dans ce texte un joli résultat de Burnside selon lequel tout groupe fini simple non abélien qui possède un sous-groupe d’indice premier est d’ordre pair. Le théorème de Feit-Thompson selon lequel tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair est évidemment beaucoup plus général, mais il est aussi monstrueusement plus difficile à démontrer. Le théorème de Burnside ne requiert que des outils très classiques.
Une version allégée de ce texte a été publiée dans le Bulletin vert de l’Union des Professeurs de classes préparatoires Scientifiques (UPS) à l’hiver 2018-2019.
Une famille nombreuse de fonctions continues partout dérivables nulle part
Niveau requis – L3-M1 (transformation de Fourier)
Je construis dans cette courte note une famille de fonctions continues partout dérivables nulle part au moyen d’un argument élégant d’analyse harmonique. La classe des fonctions ainsi construites contient en particulier l’exemple historique des fonctions de Weierstrass.
Les groupes finis simples d’ordre inférieur ou égal à 660
Niveau requis – L3 (actions de groupes, groupes symétriques, théorèmes de Sylow)
Je démontre dans ce texte qu’un groupe simple d’ordre inférieur ou égal à 660 est forcément d’ordre 60, 168, 360, 504 ou 660. L’existence et l’unicité à isomorphisme près de groupes simples pour chacun de ces ordres n’est en revanche pas abordée. Les techniques employées sont présentées selon un ordre de difficulté croissante avec une introduction rapide au transfert en fin de parcours.
Ce texte prolonge une étude de moindre ampleur que j’ai pris beaucoup de plaisir à mener en 2001 sous la direction de Daniel Perrin, alors professeur des universités à Paris 11.
Le théorème de Chermak-Delgado
Niveau requis – L3 (théorie des groupes)
Le théorème de Chermak-Delgado est un petit résultat de 1989 étonnamment facile à démontrer selon lequel, en résumé, un groupe fini qui contient un gros sous-groupe abélien contient aussi un assez gros sous-groupe abélien distingué. Après une première partie facile consacrée à ce seul théorème, j’en présente dans une deuxième partie un prolongement non moins joli mais plus difficile découvert par Lucchini en 1998. Le théorème de Lucchini permet dans une troisième partie la démonstration rapide d’un théorème d’Horosevskii sur l’ordre maximal des automorphismes d’un groupe fini.
Une version allégée de ce texte a été publiée dans la Revue de Mathématiques Spéciales (RMS) en juillet 2018.
Le transfert et ses applications
Niveau requis – L3 (actions de groupes, groupes symétriques, théorèmes de Sylow)
Je présente dans ce texte le morphisme de groupes appelé transfert qu’on peut associer à tout sous-groupe d’indice fini d’un groupe quelconque. Plutôt obscur au premier abord, ce morphisme peu connu des non-spécialistes est pourtant l’un des outils de base de la théorie des groupes finis. J’ai choisi d’en présenter de nombreuses applications, de la loi de réciprocité quadratique à certains cas particuliers du théorème Z* de Glauberman en passant par l’analyse p-locale et les groupes de Frobenius.
Le théorème D* de Glauberman-Solomon
Niveau requis – avancé (théorie des groupes finis)
Ce texte prolonge l’introduction à l’analyse p-locale de mon précédent texte Le transfert et ses applications. J’y étudie la manière dont Thompson, à la fin des années 50, a dépassé le théorème de p-nilpotence de Frobenius — la p-nilpotence est une propriété courante des groupes finis que les groupes simples non abéliens, en particulier, n’ont pas. Le travail inaugural de Thompson a été amélioré par Glauberman peu de temps après, mais c’est à une avancée récente de 2012 de Glauberman et Solomon que je m’attaque plus particulièrement. En résumé, pour qu’un groupe soit p-nilpotent, il suffit que l’un de ses sous-groupes, défini par des conditions universelles, le soit. Il apparaît au passage que le nombre premier 2 n’est pas un nombre premier comme les autres en théorie des groupes finis, un phénomène que l’on retrouve d’un bout à l’autre de la théorie.