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Cette page recense quelques articles mathématiques que j’écris pour le plaisir indépendamment de mon enseignement officiel en MPSI. Si certains s’adressent à un public de niveau MPSI/PCSI/PTSI/TSI1, la plupart visent un public plus expert. J’augmenterai ce stock de textes au gré de mes envies avec le temps. Toute remarque est la bienvenue !

 

doc            La théorie de Galois en MPSI

Niveau requis – Fin d’année MPSI

On s’intéresse dans ce texte à la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, i.e. à leur résolution au moyen de combinaisons linéaires, produits/quotients et racines n-ièmes. Le mathématicien Galois a montré qu’une telle résolution est impossible en général à partir du degré 5 en associant à tout polynôme un groupe qui porte aujourd’hui son nom, le groupe de Galois. Enseignée à l’université en troisième ou quatrième année de mathématiques post-bac, la théorie de Galois s’appuie généralement sur d’autres enseignements préalables des années antérieures. Sans développer la théorie dans toutes ses extrémités, je me suis proposé de présenter dans ce texte unique à la fois la théorie de Galois et ses pré-requis dans un ordre d’exposition moins rigide que l’ordre classique.

 

doc            Lemme de Sperner, théorème de Brouwer

Niveau requis – Milieu d’année MPSI/PCSI/PTSI/TSI1

On part d’un triangle, on le découpe en petits triangles et on numérote 1, 2 ou 3 chaque sommet selon certaines règles simples. Le lemme de Sperner affirme qu’au moins l’un des petits triangles est numéroté 1-2-3. Ce résultat gratuit en apparence est l’analogue discret d’un important théorème de point fixe de Brouwer. La gratuité des règles de Sperner disparaît d’ailleurs tout à fait une fois qu’on a compris de quelle manière le théorème de Brouwer en découle.

 

doc            Sous-groupes d’indice premier, un théorème méconnu de Burnside

Niveau requis – L3 (actions de groupes, polynômes et algèbre linéaire sur le corps Fp)

Je démontre dans ce texte un joli résultat de Burnside selon lequel tout groupe fini simple non abélien qui possède un sous-groupe d’indice premier est d’ordre pair. Le théorème de Feit-Thompson selon lequel tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair est sans doute plus général, mais il est aussi monstrueusement plus difficile à démontrer. Le théorème de Burnside ne requiert que des outils très classiques.

 

doc            Une famille nombreuse de fonctions continues partout dérivables nulle part

Niveau requis – L3-M1 (transformation de Fourier)

Je construis dans cette courte note une famille de fonctions continues partout dérivables nulle part au moyen d’un argument élégant d’analyse harmonique. La classe des fonctions ainsi construites contient en particulier l’exemple historique des fonctions de Weierstrass.

 

doc            Les groupes finis simples d’ordre inférieur ou égal à 660

Niveau requis – L3 (actions de groupes, groupes symétriques, théorèmes de Sylow)

Je démontre dans ce texte qu’un groupe simple d’ordre inférieur ou égal à 660 est forcément d’ordre 60, 168, 360, 504 ou 660. L’existence et l’unicité à isomorphisme près de groupes simples pour chacun de ces ordres n’est en revanche pas abordée. Les techniques employées sont présentées selon un ordre de difficulté croissante avec une introduction rapide au transfert en fin de parcours.

Ce texte prolonge une étude de moindre ampleur que j’ai pris beaucoup de plaisir à mener en 2001 sous la direction de Daniel Perrin, professeur des universités à Paris 11.

 

doc            Le théorème de Chermak-Delgado

Niveau requis – L3 (théorie des groupes)

Le théorème de Chermak-Delgado est un petit résultat de 1989 étonnamment facile à démontrer selon lequel, en résumé, un groupe fini qui contient un gros sous-groupe abélien contient aussi un assez gros sous-groupe abélien distingué. Après une première partie facile consacrée à ce seul théorème, j’en présente dans une deuxième partie un prolongement non moins joli mais plus difficile découvert par Lucchini en 1998. Le théorème de Lucchini permet dans une troisième partie la démonstration rapide d’un théorème d’Horosevskii de 1974 sur l’ordre des automorphismes d’un groupe fini.

 

doc            Le transfert et ses applications

Niveau requis – L3 (actions de groupes, groupes symétriques, théorèmes de Sylow)

Je présente dans ce texte le morphisme de groupes appelé « transfert » qu’on peut associer à tout sous-groupe d’indice fini d’un groupe quelconque. Plutôt obscur au premier abord, ce morphisme peu connu des non-spécialistes est pourtant l’un des outils de base de la théorie des groupes finis. J’ai choisi d’en présenter de nombreuses applications, de la loi de réciprocité quadratique à certains cas particuliers du théorème Z* de Glauberman en passant par l’analyse p-locale et les groupes de Frobenius.

 

doc            Le théorème D* de Glauberman-Solomon

Niveau requis – avancé (théorie des groupes finis)

Ce texte prolonge l’introduction à l’analyse p-locale de mon précédent texte « Le transfert et ses applications ». J’y étudie la manière dont Thompson, à la fin des années 50, a dépassé le théorème de p-nilpotence de Frobenius — la p-nilpotence est une propriété courante des groupes finis que les groupes simples non abéliens, en particulier, n’ont pas. Le travail inaugural de Thompson a été amélioré par Glauberman peu de temps après, mais c’est à une avancée récente de 2012 de Glauberman et Solomon que je m’attaque plus particulièrement. En résumé, pour qu’un groupe soit p-nilpotent, il suffit que l’un de ses sous-groupes, défini par des conditions universelles, le soit. Il apparaît au passage que le nombre premier 2 n’est pas un nombre premier comme les autres en théorie des groupes finis, un phénomène que l’on retrouve d’un bout à l’autre de la théorie.